Razones y Proporciones

Razón:

Una razón es la comparación de dos magnitudes, ya sea por medio de una resta o división, si la comparación es por medio de una resta, se llama razón aritmética, mientras que si la comparación es por medio de una división se llama razón geométrica.

Ejemplo:

Razón Aritmética

A-B=alpha

Donde A es el antecedente, 
B es el consecuente,
alpha es la razón o resultado de la comparación

Razón Geométrica

dfrac{A}{B}=k

Donde A es el antecedente, 
B es el consecuente,
alpha es la razón o resultado de la comparación

Proporción:

Una proporción es la igualdad de un razón de 2 pares de números, esta proporción puede ser aritmética o geométrica dependiendo de la razón, es decir si la razón del par de números es aritmética o geométrica entonces la proporción también sera aritmética o geométrica, respectivamente. A continuación se describen los dos tipos de proporciones.

Proporción Aritmética

Es la proporcion que existe en un par de diferencias:

Si     a-b=alpha land c-d=alpha

La proporcion sera:

a-b=c-d

Donde, b y c son medios
a y d extremos

Si se cumple que anot = b not= c not= d entonces la proporción se llama discreta y cualquiera de sus cuatro términos se llama cuarta diferencial.

Proporción Continua:

Es aquella proporción aritmética que sus términos medios son iguales, es decir:

a-b=b-c

donde:
b= Media diferencia o media aritmética.
a y c =  Tercia diferencial

Proporción Geométrica

Es aquella proporción que la división de dos números es igual a la división de otros dos números.

Si se tiene : dfrac{a}{b}=k wedge dfrac{c}{d}=k to  existe proporción. 

Cualquiera de sus 4 terminos, a, b, c y d se llaman cuarta proporcional si se cumple que anot= b not= cnot = d y la proporción se llama proporción geométrica. 

Proporción Continua

Una proporción geométrica  continua es aquella que sus términos medios son iguales

dfrac{a}{b}=dfrac{b}{c}

Donde,

b=Media proporcional o media geometrica

a y c=  Tercera proporcional.

Propiedades de las Proporciones

1era propiedad

Las proporciones geométricas puedes escribirse de 8 maneras diferentes, a continuación se demuestran:

sea dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d} un proporción, se puede escribir de la siguiente manera:

I. dfrac{a}{b}=dfrac{c}{d}  Cambiando medios

II. dfrac{a}{c}=dfrac{b}{d} invirtiendo i y ii.

III. dfrac{b}{a}=dfrac{d}{c} 

IV. dfrac{c}{a}=dfrac{d}{b} permutando terminos a i, ii, ii, iv

V. dfrac{c}{d}=dfrac{a}{b} 

VI. dfrac{b}{d}=dfrac{a}{c} 

VII. dfrac{d}{c}=dfrac{b}{a} 

VII. dfrac{d}{b}=dfrac{c}{a}